Всего: 185 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
такие, что 
а между p и q все натуральные числа — составные?
...,
являются составными. Пусть p — самое большое простое число, не превосходящее 
а q — самое маленькое простое число, большее 
Тогда 
Докажите, что 
и 
Из неравенства треугольника в треугольнике BMN следует, что 
Из подобия треугольников ABC и MBN имеем 
Отсюда 
так как 
Тогда имеем 
имеет два корня.
уже есть два решения (при любых 
соответствующие двум значениям 
При 
и для значений x, близких к −1 число 
будет положительным, и, значит, для каждого такого x есть два значения у (и, значит, уравнение имеет бесконечное множество решений). Осталось рассмотреть случай, когда 
В этом случае имеем уравнение 
будет положительной, когда 
Значит, и при 
будет бесконечное множество решений.
при всех n, где s(a) означает сумму цифр натурального числа а. Найдите a100.
а 
(последнее неравенство легко доказать по индукции). Начальное число 
меньше, чем 101024, так как 
Значит, 
и, очевидно, 
Осталось найти остаток от деления 22015 на 9. Поскольку 23 имеет вид 
(то есть имеет остаток 8 при делении на 9
то и 
тоже имеет такой вид (как произведение нечетного числа сомножителей вида 
а 
где 
Область определения 
следовательно, 
(так как 
возрастает вместе с 
Далее, исследуя функцию y(t), получаем точку минимума 
и соответствующее значение 
(см. аналогичное решение в задаче 
множество значений 
составное.
Пусть а — его наименьший корень. Найдите 
у которого b — наименьший корень, найдите 
—
и 
получим 
а при 
имеем 
В п. a) легко и непосредственно получить результат.
таких операций а) при 
б) при 
и 
одной четности). Вначале сумма 
была нечетной (в ней 55 нечетных слагаемых и 55 четных). Значит, в результате всех операций получить 0 не удастся. Получить единицу можно способом, аналогичным указанному в пункте а): а именно,
Найдите длину диагонали AC.
от противного. Если 
то в треугольнике ABC против большей стороны AC лежит больший угол: 
Аналогично для треугольника ADC имеем 
Сложив эти неравенства, будем иметь 
то 
и в результате получим сумму углов четырехугольника меньше 360° — снова пришли к противоречию. 
а если C лежит вне окружности, то угол C будет меньше 140°. Значит, C лежит на окружности.В квадрате со стороной 1 отметили 53 точки, из которых четыре являются вершинами квадрата, а остальные (произвольные) 49 точек лежат внутри. Докажите, что найдется треугольник с отмеченными вершинами, имеющий площадь не более 0,01.
точки внутри 
Докажем по индукции, что квадрат можно разбить на треугольники с отмеченными вершинами, причем число треугольников равно 
К такому выражению нетрудно прийти рассматривая значения 
и 
квадрат разбит на 
треугольников, и мы добавляем 
-ую
получим разбиение квадрата на 
треугольников с отмеченными вершинами и поэтому в единичном квадрате найдется треугольник площади не более 0,01.Дан треугольник ABC, вписанный в окружность ω. Точка М — основание перпендикуляра из точки В на прямую AC, точка N — основание перпендикуляра из точки А на касательную к ω, проведенную через точку В. Докажите, что отрезки MN и BC параллельны.
(по свойству вписанных углов). Далее, угол между касательной через точку B и хордой BC также равен углу BAC (по свойству угла между касательной и хордой). Таким образом, отрезки NM и BC имеют одинаковые углы с касательной и поэтому параллельны.
то 
при всех x. Значит, область определения 
Преобразуем выражение для y, домножив числитель и знаменатель на множитель 
Заметим, что этот множитель равен нулю лишь при 
это следует из того, что 
(в обоих случаях используется формула для разности квадратов). Таким образом, при 
имеем 
Очевидно, эта функция нечетная, при 
исходное выражение для y дает значение 
Поэтому достаточно рассмотреть 
имеет решение, заметим, что 
при 
то 
Учитывая нечетность функции, получаем множество значений (−1; 1).
множество значений (–1; 1).
и 
так как 
Неравенство перепишем в виде 
ее центр — в точке (1; 0), радиус равен 1. Второе уравнение — это уравнение прямой с угловым коэффициентом (−a). Заметим, что эта прямая проходит через точку M с координатами (b; 0). Поэтому если M лежит на указанной окружности или внутри нее (то есть при 
то любая прямая, проходящая через M, пересекает окружность. Если же M лежит вне окружности, то найдется прямая, проходящая через M, не пересекающая окружность. Отсюда следует результат.
Докажите, что an принимает целые значения для бесконечного множества номеров n.
перепишем в виде 
будем иметь 
делится на 9 для бесконечного множества номеров n. 
делится на 6, то 
дает остаток 1 при делении на 9 (так как 
имеет вид 
и любые степени 26k будут иметь такой вид). Итак, члены последовательности a7, a13, 
и 
Аналогично, 
Справедливы ли следующие утверждения:
а) Если для любой точки M внутри треугольника ABC из отрезков MA, MB и MC можно составить треугольник, то ABC равносторонний?
б) Для любой точки M внутри равностороннего треугольника ABC из отрезков MA, MB и MC можно составить треугольник?
Если M совпадает с точкой A, то 
Возьмем точку D внутри треугольника ABC, чтобы она лежала внутри круга радиуса dc центром в точке A. Тогда 
и 
Поэтому 
Тогда треугольник 
равносторонний (так как 
и 
Стороны треугольника 
равны отрезкам MA, MB и MC. Действительно, 
а 
(при повороте отрезок MA занимает положение 
что и требовалось доказать. Другой способ решения основан на двух неравенствах: 
и 
где a — сторона треугольника.